Título da Aula: "Progressões Aritméticas e Funções Afins: Desvendando Suas Conexões"

Propósito da Aula: Introduzir o conceito de progressões aritméticas (PA) e sua estreita relação com funções afins de domínios discretos. Os alunos irão explorar as propriedades dessas sequências e funções, deduzir fórmulas importantes e aplicar esses conceitos na resolução de problemas matemáticos.

Ano(s): 1º, 2º e 3º ano do Ensino Médio

Objetivos de Aprendizagem:

• Entender o conceito de progressão aritmética (PA) e suas características.
• Estabelecer a relação entre PAs e funções afins de domínios discretos.
• Explorar as propriedades das PAs e funções afins, como termo geral, soma de termos e recorrência.
• Deduzir fórmulas importantes relacionadas a PAs e funções afins.
• Utilizar as PAs e funções afins para resolver problemas matemáticos reais.

Habilidades da BNCC (EM13MAT507):

• Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.

Materiais Necessários:

• Quadro branco ou projetor multimídia;
• Marcadores ou canetas coloridas;
• Folhas de papel e lápis ou canetas para os alunos;
• Calculadoras (opcional).

Plano de Aula Detalhado:

Introdução (15 minutos):

1. Inicie a aula perguntando aos alunos se eles já ouviram falar de progressões aritméticas. Se houver respostas afirmativas, peça que compartilhem o que sabem sobre o assunto.

2. Defina o conceito de progressão aritmética (PA) como uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Dê alguns exemplos simples de PAs.

3. Apresente o conceito de função afim de domínio discreto como uma função cujo domínio é um conjunto de números inteiros e cuja lei de formação é uma expressão linear.

Exploração de Propriedades (20 minutos):

1. Peça aos alunos que identifiquem algumas propriedades das PAs, como: termo geral, soma de termos e recorrência. Se necessário, forneça exemplos para ilustrar cada propriedade.

2. Em seguida, mostre como essas propriedades podem ser expressas na forma de fórmulas matemáticas. Por exemplo, a fórmula do termo geral de uma PA é dada por: $$a_n = a_1 + (n - 1) * d$$ onde:

   • $$a_n$$ é o termo geral da PA;
   • $$a_1$$ é o primeiro termo da PA;
   • $$n$$ é o número do termo que queremos encontrar;
   • $$d$$ é a diferença entre dois termos consecutivos da PA.

Dedução de Fórmulas (15 minutos):

1. Guie os alunos na dedução de outras fórmulas importantes relacionadas a PAs e funções afins, como a fórmula da soma dos $$n$$ primeiros termos de uma PA, dada por: $$S_n = \frac{n}{2} * (a_1 + a_n)$$

2. Apresente também a fórmula que relaciona o termo geral de uma PA com a função afim correspondente, dada por: $$a_n = f(n) = a_1 + (n - 1) * d$$

Resolução de Problemas (20 minutos):

1. Proponha alguns problemas matemáticos que envolvam progressões aritméticas e funções afins. Por exemplo:

   • Um fazendeiro tem 100 galinhas que colocam 1 ovo cada, por dia. Se cada ovo é vendido por R$ 1,00, quanto dinheiro o fazendeiro ganhará em 30 dias?
   • Uma empresa oferece um salário inicial de R$ 1.500,00 e um aumento anual de R$ 200,00. Qual será o salário do funcionário após 10 anos de trabalho?

2. Peça aos alunos que resolvam os problemas utilizando as fórmulas e conceitos aprendidos na aula.

Conclusão (10 minutos):

1. Revise os principais conceitos e fórmulas abordados na aula.
2. Peça aos alunos que reflitam sobre a importância dessas ferramentas matemáticas na resolução de problemas do cotidiano e em outras áreas do conhecimento.