Título da Aula: Progressões Geométricas e Funções Exponenciais

Ano: Ensino Médio 1º, 2º e 3º anos

Componente: Matemática e suas Tecnologias

Habilidades da BNCC: EM13MAT508 - Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.

Objetivos da Aula:

• Compreender o conceito de progressões geométricas (PG) e funções exponenciais de domínios discretos;
• Estabelecer a relação entre PGs e funções exponenciais;
• Deduzir fórmulas para o termo geral, a soma dos n primeiros termos e a soma infinita de uma PG;
• Aplicar essas fórmulas para resolver problemas matemáticos e reais.

Materiais Necessários:

• Quadro branco ou projetor;
• Marcadores ou canetas;
• Folhas de papel para anotações;
• Calculadoras (opcional).

Procedimentos da Aula:

1. Introdução (10 minutos)

• Inicie a aula apresentando os conceitos de progressões geométricas (PG) e funções exponenciais de domínios discretos.
• Explique que uma PG é uma sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante não nula chamada razão (r).
• Apresente alguns exemplos de PGs e peça aos alunos que identifiquem a razão de cada uma delas.

2. Relação entre PGs e Funções Exponenciais (15 minutos)

• Mostre aos alunos que toda PG pode ser representada por uma função exponencial de domínio discreto.
• Escreva a fórmula geral para o termo geral de uma PG, an = a1 * r^(n-1), e a fórmula para a função exponencial correspondente, f(x) = a1 * b^x, onde b = r.
• Peça aos alunos que comparem as duas fórmulas e identifiquem as semelhanças e diferenças.

3. Dedução de Fórmulas (20 minutos)

• Deduzam juntos as fórmulas para o termo geral, a soma dos n primeiros termos e a soma infinita de uma PG.
• Comece escrevendo a fórmula para o termo geral de uma PG e, em seguida, multiplique ambos os lados da equação por r.
• Subtraia a equação original da equação multiplicada por r e simplifique para obter a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG.
• Divida a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG por 1 - r e tome o limite quando n se aproxima do infinito para obter a fórmula para a soma infinita de uma PG.

4. Resolução de Problemas (25 minutos)

• Distribua aos alunos problemas que envolvam PGs e funções exponenciais.
• Peça aos alunos que resolvam os problemas usando as fórmulas deduzidas anteriormente.
• Incentive os alunos a aplicarem essas fórmulas em situações reais para mostrar a importância prática do conteúdo aprendido.

5. Conclusão (10 minutos)

• Revise os principais conceitos e fórmulas aprendidos durante a aula.
• Peça aos alunos que reflitam sobre a relação entre PGs e funções exponenciais e como essa relação pode ser usada para resolver problemas matemáticos e reais.