Qual das seguintes generalizações algébricas representa a relação entre \(x\) e \(y\) conforme a tabela e o gráfico apresentados na aula?

A tabela e o gráfico apresentados na aula indicam uma relação quadrática entre (x) e (y), com uma parábola abrindo-se para cima. a forma geral de uma função polinomial de 2º grau é (y = ax^2 + bx + c). como a parábola abre-se para cima, o valor de (a) deve ser positivo. analisando os dados da tabela, podemos observar que quando (x = 0), (y = 1). portanto, o valor de (c) também é 1. substituindo esses valores na equação geral, obtemos: (y = ax^2 + 1). para determinar o valor de (a), podemos usar qualquer outro par de pontos da tabela. por exemplo, quando (x = 1), (y = 3). substituindo esses valores na equação, obtemos: (3 = a(1)^2 + 1). resolvendo para (a), encontramos (a = 2). portanto, a generalização algébrica que representa a relação entre (x) e (y) é (y = 2x^2 + 1).

• (a) (y = 2x + 1) não é uma função quadrática.
• (b) (y = x^2 - 1) é uma função quadrática, mas abre-se para baixo, o que não corresponde ao gráfico apresentado.
• (c) (y = 2x^2 + 1) é a generalização algébrica correta, conforme explicação acima.
• (d) (y = -x^2 + 1) é uma função quadrática, mas abre-se para baixo, o que não corresponde ao gráfico apresentado.
• (e) (y = -2x^2 + 1) é uma função quadrática que abre-se para baixo, o que não corresponde ao gráfico apresentado.

A capacidade de transformar representações tabulares em gráficos cartesianos e vice-versa, além de identificar padrões e expressar generalizações algébricas, é essencial para entender e trabalhar com funções polinomiais de 2º grau.