Qual das funções polinomiais de 2º grau tem o gráfico que abre para cima e possui o vértice no ponto (3, -4)?
(A) -
y = x² - 6x + 5
(B) -
y = -x² + 6x - 5
(C) -
y = x² + 6x - 5
(D) -
y = -x² - 6x - 5
(E) -
y = -x² + 6x + 5
Explicação
Para determinar qual função possui as características mencionadas, precisamos analisar o sinal do coeficiente a (aquele que acompanha o termo x²) e as coordenadas do vértice.
- O sinal do coeficiente a determina se a parábola abre para cima ou para baixo. Se a > 0, a parábola abre para cima, e se a < 0, a parábola abre para baixo. No caso da função y = -x² + 6x + 5, o coeficiente a é -1, portanto, a parábola abre para cima.
- As coordenadas do vértice podem ser encontradas usando as fórmulas:
x_v = -b / 2a
y_v = f(x_v)
Onde b é o coeficiente que acompanha o termo x e a é o coeficiente que acompanha o termo x².
Aplicando essas fórmulas à função y = -x² + 6x + 5, obtemos:
x_v = -6 / 2(-1) = 3
y_v = f(3) = -3² + 6(3) + 5 = -9 + 18 + 5 = -4
Portanto, o vértice da parábola é (3, -4).
Análise das alternativas
As demais alternativas não possuem as características mencionadas:
- (A): y = x² - 6x + 5 abre para cima, mas o vértice não é (3, -4).
- (B): y = -x² + 6x - 5 abre para baixo e o vértice não é (3, -4).
- (C): y = x² + 6x - 5 abre para cima, mas o vértice não é (3, -4).
- (D): y = -x² - 6x - 5 abre para baixo e o vértice não é (3, -4).
Conclusão
A função polinomial de 2º grau que possui as características mencionadas é y = -x² + 6x + 5.