Em um triângulo retângulo, se o seno de um ângulo é 0,6 e o cateto adjacente a esse ângulo mede 8 cm, qual é a medida do cateto oposto?

Utilizando a Lei dos Senos, temos:

sen(A) / cateto oposto = sen(B) / cateto adjacente

Sabemos que sen(A) = 0,6 e cateto adjacente = 8 cm. Substituindo esses valores na expressão, temos:

0,6 / cateto oposto = sen(B) / 8 cm

Como sen(B) é o seno do ângulo complementar de A, e a soma dos ângulos de um triângulo retângulo é sempre 90 graus, temos:

sen(B) = cos(A)

Sabemos que cos(A) é o cosseno do ângulo A, e é definido como o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Como a hipotenusa é desconhecida, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrá-la:

hipotenusa^2 = cateto oposto^2 + cateto adjacente^2

hipotenusa^2 = cateto oposto^2 + 8^2

hipotenusa^2 = cateto oposto^2 + 64

Substituindo sen(B) = cos(A) na expressão da Lei dos Senos, temos:

0,6 / cateto oposto = cos(A) / 8 cm

Como cos(A) é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, temos:

0,6 / cateto oposto = 8 cm / hipotenusa

cateto oposto = 0,6 * hipotenusa / 8 cm

Substituindo hipotenusa^2 = cateto oposto^2 + 64 na expressão acima, temos:

cateto oposto = 0,6 * (cateto oposto^2 + 64) / 8 cm

cateto oposto = 0,6 * cateto oposto^2 / 8 cm + 0,6 * 64 / 8 cm

cateto oposto - 0,6 * cateto oposto^2 / 8 cm = 0,6 * 64 / 8 cm

(1 - 0,6) * cateto oposto^2 / 8 cm = 0,6 * 64 / 8 cm

0,4 * cateto oposto^2 = 4,8

cateto oposto^2 = 4,8 / 0,4

cateto oposto^2 = 12

cateto oposto = sqrt(12)

cateto oposto = 2 * sqrt(3)

cateto oposto = 2 * 1,732

cateto oposto = 3,464

arredondando para o centésimo mais próximo, temos:

cateto oposto = 3,46 cm

As demais alternativas estão incorretas:

• (B): 8 cm => O cateto oposto não pode ser igual ao cateto adjacente.
• (C): 10 cm => O cateto oposto não pode ser maior que a hipotenusa.
• (D): 12 cm => O cateto oposto não pode ser maior que a hipotenusa.
• (E): 16 cm => O cateto oposto não pode ser maior que a hipotenusa.

O cateto oposto mede 3,46 cm.