Em um triângulo, a razão entre os comprimentos dos lados a e b é igual a 3:4, e o ângulo entre esses lados mede 120 graus. Qual é a razão entre os comprimentos dos lados b e c?
Explicação
Podemos usar a lei dos cossenos para resolver esse problema.
Lei dos cossenos: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\theta}$$
onde $a$, $b$ e $c$ são os comprimentos dos lados do triângulo e $\theta$ é o ângulo entre os lados $a$ e $b$.
Dado que $a:b = 3:4$, podemos escrever $$a = \frac{3}{4}b$$
Substituindo esse valor na lei dos cossenos, temos $$(\frac{3}{4}b)^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{120^\circ}$$
Simplificando e resolvendo para $c$, obtemos $$c^2 = \frac{b^2}{4} + 2bc \cos{120^\circ}$$
$$c^2 = \frac{b^2}{4} - b^2 \cos{120^\circ}$$
$$c^2 = \frac{b^2}{4} - b^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$c^2 = \frac{b^2}{4} + \frac{b^2}{2}$$
$$c^2 = \frac{3b^2}{4}$$
$$c = \frac{\sqrt{3}b}{2}$$
Dividindo $b$ por $c$, temos $$ \frac{b}{c} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$$
Portanto, a razão entre os comprimentos dos lados $b$ e $c$ é aproximadamente de 2:1.
Análise das alternativas
(A) 1:2 - Incorreta (B) 2:1 - Correta (C) 1:1 - Incorreta (D) 2:3 - Incorreta (E) 3:2 - Incorreta
Conclusão
A lei dos cossenos é uma ferramenta importante para a resolução de problemas envolvendo triângulos.