De acordo com o conceito ensinado na aula, em qual das opções abaixo a multiplicação de uma matriz A por um escalar k é equivalente à multiplicação da matriz A por sua transposta?
(A) -
kA = k^T * A^T
(B) -
kA = A^T * k
(C) -
kA = A * k
(D) -
kA = k * A^T
(E) -
kA = A^T * k^T
Explicação
A multiplicação de uma matriz A por um escalar k é equivalente à multiplicação da matriz A por sua transposta (A^T) quando k é igual à transposta de k (k^T).
Análise das alternativas
- (A) kA ≠ k^T * A^T, pois a multiplicação de uma matriz por um escalar resulta em uma matriz com os mesmos elementos multiplicados pelo escalar, enquanto a multiplicação de uma matriz por sua transposta resulta em uma matriz com suas linhas e colunas trocadas.
- (B) kA ≠ A^T * k, pois a ordem dos fatores na multiplicação de matrizes é importante e não pode ser alterada.
- (C) kA ≠ A * k, pois a multiplicação de uma matriz por um escalar resulta em uma matriz com os mesmos elementos multiplicados pelo escalar, enquanto a multiplicação de uma matriz por outra resulta em uma matriz com elementos que são a soma dos produtos dos elementos correspondentes das matrizes originais.
- (D) kA ≠ k * A^T, pois a multiplicação de uma matriz por um escalar resulta em uma matriz com os mesmos elementos multiplicados pelo escalar, enquanto a multiplicação de uma matriz por sua transposta resulta em uma matriz com suas linhas e colunas trocadas.
- (E) kA = A^T * k^T, pois a multiplicação de uma matriz por um escalar resulta em uma matriz com os mesmos elementos multiplicados pelo escalar, enquanto a multiplicação da matriz A por sua transposta (A^T) resulta em uma matriz com suas linhas e colunas trocadas. A multiplicação dessa matriz por k^T resulta em uma matriz com os mesmos elementos multiplicados por k, o que é equivalente à multiplicação de A por k.
Conclusão
A equação kA = A^T * k^T é a única que representa a equivalência entre a multiplicação de uma matriz A por um escalar k e a multiplicação da matriz A por sua transposta.