Qual das seguintes afirmações sobre a capacidade de ladrilhar o plano com polígonos regulares é verdadeira?
(A) -
todos os polígonos regulares podem ladrilhar o plano.
(B) -
apenas os polígonos que possuem ângulos iguais podem ladrilhar o plano.
(C) -
apenas os polígonos que possuem lados iguais podem ladrilhar o plano.
(D) -
apenas os polígonos que possuem um número par de lados podem ladrilhar o plano.
(E) -
apenas os polígonos que podem ser decompostos em triângulos podem ladrilhar o plano.
Explicação
A afirmação verdadeira é: apenas os polígonos que podem ser decompostos em triângulos podem ladrilhar o plano.
essa afirmação é conhecida como o teorema de pólya, que estabelece que qualquer polígono que pode ser decomposto em um conjunto de triângulos pode ser usado para ladrilhar o plano. isso ocorre porque os triângulos são as únicas figuras que podem ser encaixadas perfeitamente para cobrir uma superfície sem deixar espaços vazios ou sobreposições.
Análise das alternativas
As demais alternativas são falsas:
- (a): nem todos os polígonos regulares podem ladrilhar o plano. por exemplo, o pentágono regular não pode ladrilhar o plano sozinho.
- (b): existem polígonos regulares com ângulos iguais que não podem ladrilhar o plano, como o pentágono regular.
- (c): existem polígonos regulares com lados iguais que não podem ladrilhar o plano, como o losango.
- (d): existem polígonos regulares com um número par de lados que não podem ladrilhar o plano, como o hexágono regular.
Conclusão
O teorema de pólya é uma ferramenta valiosa para determinar se um polígono pode ser usado para ladrilhar o plano. compreender esse conceito é essencial para diversas aplicações em áreas como arquitetura, design e matemática.