Qual sólido geométrico possui fórmula de volume derivada do princípio de Cavalieri que envolve o raio da base e o quadrado da altura?
Dica
Uma dica para lembrar a fórmula do volume do cone é pensar no cone como um cilindro com uma ponta faltando. O volume do cilindro é dado pela fórmula:
- V = πr²h
O volume da ponta faltante é dado pela fórmula:
- V = (1/3)πr²h
O volume total do cone é a diferença entre o volume do cilindro e o volume da ponta faltante:
- V = Vcilindro - Vponta faltante
- V = πr²h - (1/3)πr²h
- V = (2/3)πr²h
Explicação
A fórmula para derivar o volume do cone usando o princípio de Cavalieri é:
- V = (πr²h)/3 onde:
- V é o volume do cone,
- r é o raio da base do cone,
- h é a altura do cone e
- π é uma constante aproximadamente igual a 3,14.
Esta fórmula é derivada cortando o cone em fatias horizontais finas e calculando o volume dessas fatias como o volume de cilindros. O princípio de Cavalieri é então usado para mostrar que o volume total do cone é igual à soma dos volumes dessas fatias.
Análise das alternativas
- (A) O cubo não possui raio de base.
- (B) A esfera não possui fórmula de volume derivada do princípio de Cavalieri.
- (C) O cone possui fórmula de volume derivada do princípio de Cavalieri que envolve o raio da base e o quadrado da altura.
- (D) A pirâmide não possui fórmula de volume derivada do princípio de Cavalieri que envolve o raio da base e o quadrado da altura.
- (E) O prisma não possui fórmula de volume derivada do princípio de Cavalieri que envolve o raio da base e o quadrado da altura.
Conclusão
O princípio de Cavalieri é uma ferramenta poderosa para derivar fórmulas de volume de sólidos geométricos. No caso do cone, a fórmula envolve o raio da base e o quadrado da altura.