Qual das seguintes funções tem como imagem o conjunto dos números reais positivos (R+)?
(A) -
f(x) = -x + 3
(B) -
f(x) = x^2 - 1
(C) -
f(x) = -x^3 + 2x
(D) -
f(x) = √(x - 2)
(E) -
f(x) = sen(x)
Explicação
A imagem de uma função é o conjunto de valores que ela pode assumir. Para encontrar a imagem de uma função, precisamos determinar todos os possíveis valores de saída para todos os possíveis valores de entrada no domínio da função.
A função f(x) = √(x - 2) tem domínio x ≥ 2, pois o radicando (x - 2) não pode ser negativo. Para encontrar a imagem, substituímos x por todos os valores possíveis em seu domínio:
- Quando x = 2, f(2) = √(2 - 2) = 0.
- Quando x > 2, f(x) = √(x - 2) > 0.
Como f(x) é sempre maior que 0 para x ≥ 2, sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+).
Análise das alternativas
- (A): A imagem de f(x) = -x + 3 é R (todos os números reais).
- (B): A imagem de f(x) = x^2 - 1 é [0, ∞) (todos os números reais maiores ou iguais a 0).
- (C): A imagem de f(x) = -x^3 + 2x é R.
- (D): A imagem de f(x) = √(x - 2) é R+.
- (E): A imagem de f(x) = sen(x) é [-1, 1].
Conclusão
Portanto, a única função que tem como imagem o conjunto dos números reais positivos (R+) é f(x) = √(x - 2).