Qual das seguintes funções é decrescente no intervalo [0, 2]?
(A) -
f(x) = x^2 - 2x + 1
(B) -
g(x) = -x^2 + 4x - 3
(C) -
h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1
(D) -
j(x) = -2x^2 + 3x + 1
(E) -
k(x) = x^4 - 2x^2 + 1
Explicação
Para determinar o decrescimento de uma função, precisamos analisar o sinal de sua derivada no intervalo dado.
A derivada da função g(x) é g'(x) = -2x + 4.
Para encontrar os valores críticos da função, precisamos resolver a equação g'(x) = 0:
-2x + 4 = 0 -2x = -4 x = 2
O valor crítico da função é x = 2.
Agora, podemos criar uma tabela de sinais para analisar o sinal da derivada no intervalo [0, 2]:
| Intervalo | Derivada | Sinal da derivada |
|---|---|---|
| [0, 2) | -2x + 4 | Negativo |
| [2, ∞) | -2x + 4 | Positivo |
Como a derivada é negativa no intervalo [0, 2), a função g(x) é decrescente nesse intervalo.
Análise das alternativas
- (A) f(x) = x^2 - 2x + 1 é crescente no intervalo [0, 2].
- (C) h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 é crescente no intervalo [0, 2].
- (D) j(x) = -2x^2 + 3x + 1 é decrescente no intervalo [0, 2].
- (E) k(x) = x^4 - 2x^2 + 1 é crescente no intervalo [0, 2].
Conclusão
A função g(x) = -x^2 + 4x - 3 é decrescente no intervalo [0, 2], enquanto as demais opções são crescentes nesse intervalo.