Em qual das seguintes funções a imagem é o conjunto dos números reais?
(A) -
f(x) = x²
(B) -
f(x) = |x|
(C) -
f(x) = x³
(D) -
f(x) = 1/x
(E) -
f(x) = e^x
Explicação
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir.
Para a função f(x) = |x|, temos que o valor absoluto de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, a imagem de f(x) é o conjunto de todos os números reais não negativos, que é o mesmo que o conjunto dos números reais.
Análise das alternativas
- (A): A imagem de f(x) = x² é o conjunto dos números reais não negativos, pois o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo.
- (B): A imagem de f(x) = |x| é o conjunto dos números reais, conforme explicado acima.
- (C): A imagem de f(x) = x³ é o conjunto de todos os números reais, pois o cubo de qualquer número real é sempre real.
- (D): A imagem de f(x) = 1/x é o conjunto dos números reais exceto zero, pois a função não é definida para x = 0.
- (E): A imagem de f(x) = e^x é o conjunto dos números reais positivos, pois a função exponencial sempre retorna um número positivo.
Conclusão
Portanto, a única função que tem a imagem igual ao conjunto dos números reais é f(x) = |x|.