Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre o domínio e a imagem da função exponencial \(f(x) = 2^x\)?
(A) -
domínio: (x ∈ \mathbb{r}), imagem: (y ∈ \mathbb{r}^+)
(B) -
domínio: (x ∈ \mathbb{r}^+), imagem: (y ∈ \mathbb{r}^+)
(C) -
domínio: (x ∈ \mathbb{r}), imagem: (y ∈ [0, ∞))
(D) -
domínio: (x ∈ \mathbb{r}^+), imagem: (y ∈ [0, ∞))
(E) -
domínio: (x ∈ (0, ∞)), imagem: (y ∈ (0, ∞))
Explicação
A função exponencial (f(x) = 2^x) tem como domínio todos os números reais positivos, ou seja, (x ∈ \mathbb{r}^+). isso ocorre porque a base 2 é sempre positiva e qualquer número real positivo elevado a uma potência positiva resultará em um número positivo.
quanto à imagem, a função exponencial sempre produz valores positivos, pois a base 2 é maior que 1. portanto, a imagem da função é (y ∈ \mathbb{r}^+), que são todos os números reais positivos.
Análise das alternativas
As demais alternativas não estão corretas:
- (a): o domínio está correto, mas a imagem deve ser (y ∈ \mathbb{r}^+), não (y ∈ \mathbb{r}).
- (c): o domínio está incorreto, pois a função exponencial não é definida para números reais negativos.
- (d): a imagem está incorreta, pois a função exponencial pode assumir valores maiores que 0.
- (e): tanto o domínio quanto a imagem estão incorretos.
Conclusão
Entender o domínio e a imagem das funções exponenciais é essencial para analisar e resolver equações e inequações envolvendo essas funções. também é importante para interpretar o comportamento dessas funções em diferentes contextos.