Em um quadrilátero ABCD, os ângulos ∠A e ∠C medem 90 graus. Considerando que as diagonais AC e BD se intersectam no ponto O, qual é a medida do ângulo ∠BOC?

• Desenhe um diagrama para visualizar o problema.
• Identifique os triângulos congruentes e utilize as propriedades dos triângulos congruentes para resolver o problema.
• Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de diagonais e lados de triângulos retângulos.

Como os ângulos ∠A e ∠C medem 90 graus, podemos concluir que os triângulos ABC e CDA são triângulos retângulos.

Desse modo, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento das diagonais AC e BD:

• AC² = AB² + BC²
• AC² = 8² + 6²
• AC² = 64 + 36
• AC² = 100
• AC = 10
• BD² = AD² + CD²
• BD² = 6² + 8²
• BD² = 36 + 64
• BD² = 100
• BD = 10

Como as diagonais AC e BD se intersectam no ponto O, podemos formar quatro triângulos retângulos: ΔAOB, ΔBOC, ΔCOD e ΔDOA.

O triângulo BOC é isósceles, pois as diagonais AC e BD têm o mesmo comprimento (10). Portanto, os ângulos ∠BOC e ∠BCO são congruentes.

Como os ângulos ∠AOB e ∠COD são retos, podemos concluir que o ângulo ∠BOC mede 180 graus - 90 graus - 90 graus = 60 graus.

• (A): O ângulo ∠BOC não mede 30 graus.
• (B): O ângulo ∠BOC não mede 45 graus.
• (C): O ângulo ∠BOC mede 60 graus.
• (D): O ângulo ∠BOC não mede 90 graus.
• (E): O ângulo ∠BOC não mede 120 graus.

O ângulo ∠BOC mede 60 graus.