Qual das afirmações abaixo é FALSA sobre progressões geométricas (PGs)?
(A) -
O termo geral de uma PG é dado por $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n-1}$, onde $a_{1}$ é o primeiro termo e $r$ é a razão comum.
(B) -
A soma dos $n$ primeiros termos de uma PG é dada por $S_{n} = \frac{a_{1}(1 - r^{n})}{1 - r}$, onde $a_{1}$ é o primeiro termo e $r$ é a razão comum.
(C) -
O limite de uma PG finita sempre existe e é igual ao termo geral para $n$ tendendo a infinito.
(D) -
Uma função exponencial de domínio discreto é sempre uma PG com razão comum positiva.
(E) -
PGs são usadas em aplicações como crescimento e decaimento populacional, juros compostos e decaimento radioativo.
Explicação
O limite de uma PG finita não existe, pois a sequência de termos da PG não converge para nenhum valor finito. A sequência de termos continua aumentando ou diminuindo indefinidamente, dependendo do valor da razão comum $r$.
Análise das alternativas
As demais alternativas são VERDADEIRAS:
- (A): É a fórmula correta para o termo geral de uma PG.
- (B): É a fórmula correta para a soma dos $n$ primeiros termos de uma PG.
- (D): É verdadeiro porque uma função exponencial de domínio discreto pode ser representada como uma PG com razão comum positiva.
- (E): É verdadeiro porque PGs são amplamente utilizadas em aplicações práticas que envolvem crescimento ou decaimento exponencial.
Conclusão
É importante entender que o limite de uma PG finita não existe, pois a sequência de termos não converge. No entanto, o termo geral de uma PG pode ser usado para calcular o valor de qualquer termo da sequência, e a soma dos $n$ primeiros termos pode ser usada para calcular a soma de uma parte finita da sequência.