Qual das seguintes equações de funções quadráticas representa uma parábola que se abre para cima e tem seu ponto de mínimo em (2, -5)?

Para uma parábola que se abre para cima, o coeficiente a da equação quadrática f(x) = ax^2 + bx + c deve ser positivo. para um ponto de mínimo em (2, -5), o vértice da parábola deve ser (2, -5).

a fórmula para o vértice de uma parábola é (h, k) = (-b/2a, f(-b/2a)). substituindo os valores do ponto de mínimo, obtemos:

(2, -5) = (-b/2a, f(-b/2a))

como o ponto de mínimo é em (2, -5), temos:

k = -5

h = 2

calculando o valor de b:

h = -b/2a
2 = -b/2a
b = -4a

substituindo o valor de k na equação da parábola:

f(-5) = -5
a(-2)^2 + b(-2) + c = -5
4a - 4b + c = -5

substituindo o valor de b calculado anteriormente:

4a - 4(-4a) + c = -5
4a + 16a + c = -5
20a + c = -5

como c não é dado, podemos escolher c = 5 para obter a equação da parábola:

f(x) = -x^2 + 4x + 5

As alternativas (a), (c), (d) e (e) não representam parábolas que se abrem para cima ou não têm o ponto de mínimo em (2, -5).

• (a): abre para cima, mas o ponto de mínimo não é (2, -5).
• (c): abre para baixo.
• (d): abre para baixo.
• (e): abre para cima, mas o ponto de mínimo não é (2, -5).

Portanto, a equação f(x) = -x^2 + 4x + 5 representa a parábola desejada que se abre para cima e tem seu ponto de mínimo em (2, -5).