Em qual dos problemas abaixo o princípio multiplicativo da contagem deve ser aplicado para calcular o número de possibilidades?
(A) -
calcular o número de números de 3 dígitos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4 (sem repetição).
(B) -
calcular o número de maneiras de escolher 3 frutas diferentes de uma cesta com 5 frutas diferentes.
(C) -
calcular o número de pares ordenados (x, y) de números inteiros positivos tais que x + y ≤ 5.
(D) -
calcular o número de sequências de 4 letras distintas que podem ser formadas a partir do alfabeto de 26 letras.
(E) -
calcular o número de comissões diferentes que podem ser formadas a partir de um grupo de 10 pessoas, sendo que cada comissão deve ter 3 membros.
Explicação
O problema (d) envolve uma sequência de eventos independentes (escolher a primeira letra, depois a segunda letra, depois a terceira letra e depois a quarta letra). cada evento tem 26 possibilidades (as 26 letras do alfabeto). portanto, pelo princípio multiplicativo, o número total de possibilidades é 26 × 26 × 26 × 26 = 456.976.
Análise das alternativas
Nos outros problemas, o princípio aditivo da contagem deve ser aplicado:
- (a): existem 4 escolhas para o primeiro dígito, 3 escolhas para o segundo dígito e 2 escolhas para o terceiro dígito. portanto, pelo princípio aditivo, existem 4 × 3 × 2 = 24 possibilidades.
- (b): existem 5 escolhas para a primeira fruta, 4 escolhas para a segunda fruta e 3 escolhas para a terceira fruta. portanto, pelo princípio aditivo, existem 5 × 4 × 3 = 60 possibilidades.
- (c): há 5 escolhas para x e, para cada escolha de x, há 5 - x escolhas para y. portanto, pelo princípio aditivo, existem 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 possibilidades.
- (e): existem 10 escolhas para o primeiro membro, 9 escolhas para o segundo membro e 8 escolhas para o terceiro membro. portanto, pelo princípio aditivo, existem 10 × 9 × 8 = 720 possibilidades.
Conclusão
Compreender e aplicar os princípios multiplicativo e aditivo da contagem é essencial para resolver problemas de contagem com eficiência. o princípio multiplicativo é usado quando há uma sequência de eventos independentes, enquanto o princípio aditivo é usado quando há uma escolha entre opções mutuamente exclusivas.