Considerando as propriedades das funções logarítmicas, qual das fórmulas a seguir é equivalente a $\log_6 144 = x$ ?

Para resolver a equação $\log_6 144 = x$, podemos utilizar a propriedade da mudança de base dos logaritmos, que afirma que:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Usando essa propriedade, podemos reescrever a equação como:

$\log_6 144 = x$

$\frac{\log_2 144}{\log_2 6} = x$

$\log_2 144 - \log_2 6 = x$

$\log_2 (144 \div 6) = x$

$\log_2 24 = x$

Como $24 = 2^3$, podemos escrever:

$\log_2 2^3 = x$

$3 \log_2 2 = x$

$3 = x$

Portanto, $x = 3$, e a equação equivalente é $x = \log_2 6^4$.

As demais alternativas não são equivalentes à equação $\log_6 144 = x$:

• (A): $x = 6^2$ não é equivalente porque $6^2 = 36$, não 144.
• (B): $x = \log_2 144$ não é equivalente porque $\log_2 144 \approx 7,81$, não 3.
• (C): $x = \log_2 6^2$ não é equivalente porque $\log_2 6^2 = \log_2 36 = 5,17$, não 3.
• (D): $x = \log_6 12^2$ não é equivalente porque $\log_6 12^2 \approx 4,26$, não 3.

A fórmula $x = \log_2 6^4$ é equivalente à equação $\log_6 144 = x$ porque ambas as expressões resultam em $x = 3$.