Qual das seguintes expressões é equivalente à fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano?
(A) -
(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 = d^2
(B) -
(x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = d^2
(C) -
(x1 - x2)^2 - (y1 - y2)^2 = d^2
(D) -
d = |x1 - x2| + |y1 - y2|
(E) -
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = d
Explicação
A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano é:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
onde:
- (x1, y1) são as coordenadas do primeiro ponto
- (x2, y2) são as coordenadas do segundo ponto
- d é a distância entre os dois pontos
ao elevar ambos os lados da fórmula ao quadrado, obtemos:
d^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
portanto, a expressão equivalente à fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano é (a) (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 = d^2.
Análise das alternativas
- (b) (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = d^2: esta expressão é incorreta. a fórmula correta envolve a subtração das coordenadas, não a adição.
- (c) (x1 - x2)^2 - (y1 - y2)^2 = d^2: esta expressão também é incorreta. a fórmula correta envolve a soma dos quadrados das diferenças das coordenadas, não a subtração.
- (d) d = |x1 - x2| + |y1 - y2|: esta expressão calcula a soma dos valores absolutos das diferenças das coordenadas, o que não é equivalente à distância entre os pontos.
- (e) √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = d: esta expressão é a própria fórmula da distância e, portanto, é equivalente.
Conclusão
A expressão (a) (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 = d^2 é equivalente à fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano porque representa a soma dos quadrados das diferenças das coordenadas, que é igual ao quadrado da distância.