Em um triângulo ABC, se AB = 12 cm, BC = 18 cm e AC = 24 cm, e em um triângulo DEF, se DE = 18 cm, EF = 27 cm e DF = 36 cm, qual é a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo DEF?
(A) -
1:3
(B) -
3:5
(C) -
1:2
(D) -
4:5
(E) -
2:3
Explicação
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes, pois os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
Calculando as razões entre os lados correspondentes:
- AB/DE = 12/18 = 2/3
- BC/EF = 18/27 = 2/3
- AC/DF = 24/36 = 2/3
Como todas as razões são iguais, os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
Calculando a razão entre as áreas dos triângulos semelhantes:
- Área ABC/Área DEF = (1/2) * AB * BC / (1/2) * DE * EF
- Área ABC/Área DEF = (1/2) * 12 * 18 / (1/2) * 18 * 27
- Área ABC/Área DEF = 216 / 486
- Área ABC/Área DEF = 1 / 3
Portanto, a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo DEF é de 1:3.
Análise das alternativas
As demais alternativas estão incorretas:
- (B) 3:5: Incorreta, pois a razão entre as áreas dos triângulos é de 1:3, não 3:5.
- (C) 1:2: Incorreta, pois a razão entre as áreas dos triângulos é de 1:3, não 1:2.
- (D) 4:5: Incorreta, pois a razão entre as áreas dos triângulos é de 1:3, não 4:5.
- (E) 2:3: Incorreta, pois a razão entre as áreas dos triângulos é de 1:3, não 2:3.
Conclusão
A semelhança de triângulos é um conceito importante na matemática, pois permite que os alunos resolvam problemas envolvendo proporcionalidade e áreas de figuras geométricas.