Entre as opções abaixo, qual representa corretamente a relação entre um arco e seu ângulo central correspondente em uma circunferência?
(A) -
o comprimento do arco é sempre menor que a medida do ângulo central.
(B) -
a medida do ângulo central é sempre menor que o comprimento do arco.
(C) -
a medida do ângulo central é proporcional ao comprimento do arco.
(D) -
o comprimento do arco e a medida do ângulo central são independentes.
(E) -
a medida do ângulo central é sempre um múltiplo do comprimento do arco.
Explicação
Em uma circunferência, a medida do ângulo central é proporcional ao comprimento do arco que ele subtende. quanto maior o comprimento do arco, maior será a medida do ângulo central. matematicamente, essa relação pode ser expressa como:
θ = (s / r) * 180°/π
onde:
- θ é a medida do ângulo central em graus
- s é o comprimento do arco
- r é o raio da circunferência
- π é uma constante aproximadamente igual a 3,14
Análise das alternativas
- (a): incorreta. o comprimento do arco pode ser maior que a medida do ângulo central, especialmente em arcos maiores que 180°.
- (b): incorreta. a medida do ângulo central pode ser maior que o comprimento do arco, especialmente em arcos menores que 180°.
- (c): correta. a medida do ângulo central é proporcional ao comprimento do arco.
- (d): incorreta. o comprimento do arco e a medida do ângulo central estão inter-relacionados.
- (e): incorreta. a medida do ângulo central não é necessariamente um múltiplo do comprimento do arco.
Conclusão
Compreender a relação entre arcos e ângulos centrais é fundamental para resolver vários problemas geométricos envolvendo círculos. ao estabelecer essa proporcionalidade, os alunos podem fazer conexões significativas entre diferentes medidas de círculos.